반도체 강좌. (6) PN접합 (PN junction) 수식편.

(1) Built-in Potential 계산.

- 열평형 상태.
n타입에서의 E_F-E_i 와 p타입의 E_F-E_i 를 더한 값입니다.

이 둘을 더하면,


- 비평형 상태.(Forward, Reverse bias)
원래 식에서 걸어준 추가 전압양만큼 추가해주면 됩니다.
그만큼 추가 전압만큼 에너지 밴드가 이동하니까요.




Forward bias에서는 포텐셜 배리어가 낮아지니 전압을 빼주고, Reverse bias에서는 포텐셜 배리어가 높아지니 전압을 더해준다고 이해하면 됩니다.
기본적으로 p타입쪽 에너지 준위가 높고요.
Forward bias 크기가 커지면 p타입의 에너지 준위가 n타입보다 낮아지는 경우도 발생하겠지요.

 
(좌 : Forward bias, 우 : Reverse bias)




(2) Built-in Voltage 계산.
수식에서는 e로 나누는걸로 표시합니다만, Built-in Potential에서 단위만 V로 바꿔주면 됩니다.
단위만 다르지 크기는 같으니까요.
대신 에너지 밴드에서의 포텐셜 배리어와 달리 전압은 n타입쪽이 높지요.






(3) Electric field 계산.
E-field는 SCR에만 존재합니다.
(엄밀히 따지면 그렇다는 가정입니다만...)
그 외 지역은 극성이 없는 neutral region이기때문에 E-field가 없습니다.
SCR 내 각 지점에서의 E-field의 세기는 해당 지점을 기준으로 좌우에 (+), (-) 전하가 얼마나 있느냐에 따라 결정됩니다.
그렇다면 E-field를 계산하기위해서는 Space charge 분포가 어떤지 먼저 알아야겠지요.



위 이미지에서 볼 수 있듯이 SCR내에서 Space charge는 일정한 밀도(density)로 존재한다고 가정합니다.
PN접합의 경계도 명확하게 존재한다고 가정하고요.
(안 그러면 계산 못 하니까 그러려니...)

E-field의 방향이 n타입에서 p타입, 즉 -x방향이기때문에 (-)값으로 표시합니다.

(-) Space charge와 (+) Space charge의 양은 같습니다.
당연한 결과입니다.
중성(neutral)인 n타입과 p타입이 접합한 상태이니 전체도 중성.
p타입으로 확산된 전자와 n타입으로 확산된 홀이 결합하면서 발생한 것이 SCR이니 SCR에서의 Space charge 총합도 중성.


xp는 p타입에서의 SCR 구간의 길이이고, xn은 n타입에서의 SCR 구간의 길이입니다.

앞서 언급했듯이 특정 지점에서 E-field의 세기는 좌우의 (+), (-) 전하의 양으로 결정됩니다.
p타입에서 n타입으로 가면서 각 포인트를 확인해보지요. (좌에서 우 방향.)

- p타입에서의 SCR 시작지점.
왼쪽은 중성이기때문에 전하가 없습니다.
오른쪽은 SCR영역입니다만 전체 Space charge의 총합은 0 이지요.
즉 좌우의 유효전하가 0이기때문에 E-field는 0 입니다.

- PN접합의 경계 이전 지점.
왼쪽에는 일부의 (-) 전하가 존재합니다.
오른쪽에는 일부의 (-) 전하와 모든 (+) 전하가 존재하고, 이것을 합친 유효전하는 (+) 입니다.
(+) 전하의 전체양보다는 작은 값이고요.

- PN접합 경계.
왼쪽의 (-)전하는 PN접합에서 존재할 수 있는 최대치입니다.
이는 오른쪽의 (+) 전하도 마찬가지 입니다.
PN접합의 경계에서 E-field가 최대값을 갖는 이유가 여기에 있습니다.

- PN접합 경계와 n타입, SCR의 경계 사이.
앞서 p타입 상황과 비슷합니다.
왼쪽에는 일부 (+)전하와 모든 (-)전하가 존재해서 유효 전하가 (-) 최대치에 미치지 못하고,
오른쪽에는 일부 (+)전하만이 있지요.

- SCR이 끝나는 지점은 SCR 시작지점과 같습니다.
좌, 우 모두 유효전하가 0 이고, E-field는 0이 됩니다.

이런 이론을 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.
전하량 계산이 적분으로 표현되는데 그건 복잡하니 생략하고 결론만 말하면...



최대값은 다음과 같이 나오겠지요.


뒤에 나오는 SCR 구간을 활용해서 계산할 수도 있습니다.



(4) Depletion width 계산. (Space charge width)
Built-in voltage는 E-field를 SCR 구간에서 적분한 것과 같습니다.
포텐셜과 필드 관계가 원래 그렇지요.



앞서 나온 E-field 식을 xp ~ xn 구간에 대해 적분하면 다음과 같은 식이 나옵니다.



여기에 아래 식을 대입해서 x에 대해 정리하면...


이런 식이 나옵니다.



이 둘을 합치면 전체 SCR 구간의 길이가 나옵니다.



Forward, Reverse bias 상황에서는 Built-in Voltage 값만 바꾸면 됩니다.
(대부분의 수식이 전압만 바꿔주면 됩니다.)



(5) Capacitance
이건 잘 안 다루는데 간단히 넘어가겠습니다.
SCR에 (+)전하와 (-)전하가 다른 공간에 존재하고 있고, 이것을 Cap으로 해석해서 Capacitance를 계산할 수 있습니다.
전류가 흐르기 힘든 Reverse bias 상태를 가정하는게 타당하겠지요.
(Cap은 전류가 흐르지 않으니까.)





- PN접합 다이오드, 전류에 대한 내용은 다음 편에 다루겠습니다.