앞서 Equilibrium state, 즉 평형상태에서 반도체를 보았습니다.
하지만 현실에 평형상태만 있는건 아니지요.
이번에는 비평형상태와 그로 인해 발생하는 초과 캐리어를 보겠습니다.
Nonequilibrium states, Excess Carriers
Excess Carriers 는 과잉 캐리어로 해석하는 것으로 보입니다만, 여기서는 초과 캐리어로 쓰겠습니다.
그 쪽이 더 적합해보입니다.


(1) Nonequilibrium state
비평형상태가 무엇인지 알아겠지요?
평형상태가 아닌 상태가 비평형상태이니 먼저 평형상태가 어떤 상태를 말하는 것인지 정의해야합니다.

앞서 열평형상태에서 열에 의해 전자와 홀이 생성과 결합을 반복하면서 일정한 캐리어 농도가 유지된다고 언급했습니다.
전자와 홀의 생성속도, 결합속도를 정량화해서 수식화해볼 수 있습니다.

Gn0 : 전자의 Thermal-generation rate [#/cm3-s]
Gp0 : 홀의 Thermal-generation rate [#/cm3-s]
도핑에 의해 생성된 캐리어는 일정하게 유지되지만, 열에 의해 캐리어의 추가적인 생성이 이루어지기때문에 Thermal-generation rate 입니다.
전자와 홀이 증가하는 비율입니다.

Rn0 : 전자의 Recombination rate [#/cm3-s]
Rp0 : 홀의 Recombination rate [#/cm3-s]
전자와 홀의 초당 결합 비율. 전자와 홀이 감소하는 비율이지요.

평형상태라는건 캐리어 농도가 일정한 것, 즉 n0, p0 가 일정하다는 상태를 말하는 것이지요.
식으로 표현하면 Gn0 = Gp0 = Rn0 = Rp0 입니다.

비평형상태는 전자와 홀의 생성률, 결합률이 서로 달라지면서 전체 캐리어 수가 증가, 또는 감소하는 상태를 말하는겁니다.


(2) Excess Carrier
Excess Carrier는 n0, p0 외에 추가적인 캐리어입니다.

생성원인은 다양합니다.
밴드갭 이상의 에너지를 가진 광자(빛)일수도 있고, (광자의 에너지는 hν 이지요.)
불균등한 열 분포일수도 있고, 전압과 전류일수도 있습니다.
어떤 경로로 생성됐든 Excess 캐리어도 본질적으로 전자와 홀이니 생성률, 결합률이 있습니다.
그 외 앞으로 나올 상수들을 다 표시해보겠습니다.

g'n : Excess 전자의 generation rate [#/cm3-s]
g'p : Excess 홀의 generation rate [#/cm3-s]

R'n : 전자의 Recombination rate [#/cm3-s]
R'p : 홀의 Recombination rate [#/cm3-s]

δn : Excess electron
δp : Excess hole
(n,p 앞에 붙는건 델타)

τn0 : Excess minority electron lifetime
τp0 : Excess minority hole lifetime


전체 캐리어는 기존의 thermal equilibrium 전자, 홀에 excess 전자, 홀을 더한겁니다.
n = n0 + δn
p = p0 + δp

excess 캐리어의 발생 원인에 대해 얘기했지만 대부분 전자와 홀이 동시에 발생, 소멸합니다.
대부분의 경우가 외부에서 캐리어가 유입되는 것이 아니라 반도체 내에서 EHP가 추가로 생성되는 과정입니다.
excess 캐리어도 EHP 개념이 그대로 적용될 수 있는 것이지요.
그렇기때문에 R'n = R'p 이고 g'n = g'p 입니다.


(3) Steady state
excess 캐리어가 포함되면서 열평형상태에서의 식들은 대부분 무용지물이 되었습니다.
그렇다고 손 놔버릴수는 없겠지요.
계산이 가능할 정도로 조건을 제한할 필요가 있습니다.
그러한 가정이 Steady state 입니다.
정상상태라고 하지요.
위에서 언급했던 generation rate, recombination rate 등은 모두 시간에 대한 변화량을 말하는 것인데,
시간에 대한 변화량이 일정한 것(상수)이 정상상태입니다.


(4) Excess carrier 의 수식적 표현.
Excess 캐리어의 개념은 비교적 간단하지만 결국 우리에게 필요한건 수학적으로 풀 수 있는 수식이지요.
먼저 전자에 대한 식부터.



시간에 대한 전자농도함수인 n(t)의 시간에 대한 변화율은 전자의 생성률에서 결합률을 뺀 식이 되겠지요.
n = n0 + δn 인데 시간에 대한 함수로 표현하면, n(t) = n0 + δn(t) 이니 시간으로 미분하면 n0는 없어집니다.

마지막 단계에서 δn2(t) 이 생략된건 n0, p0 대비 너무 작아서 무시할 수 있기때문입니다.
δn이 매우 작다는데 필요한 가정이 Low-level Injection 입니다.
excess 캐리어 농도가 majority 캐리어 농도보다 매우 작은 경우를 말합니다.
PN접합 이후에도 간간히 나오는 가정이니 알아두면 편할겁니다.

위의 마지막 식은 1계 미분방정식인데 이걸 풀어보면 다음과 같습니다.


p-type을 기준으로 한 계산으로 p0 >> n0 이기때문에 n0는 무시되었습니다.
n-type이라면 다음과 같습니다.



초기 값에서 지수적(Exponential)으로 감소하는 것을 볼 수 있습니다.
이는 Excess 캐리어가 농도 차이에 의해 주변으로 확산(diffusion)되는 것인데,
앞으로 보게될 거의 모든 캐리어 확산이
Exponential하게 일어납니다.


여기서 처음으로 캐리어의 lifetime, τ가 나옵니다.
캐리어가 생성되어서 재결합으로 사라질 때까지의 평균시간입니다.
스케일이 작은만큼 통계적인 방식으로 표시할 수 밖에 없지요.
수식적으로는 다음과 같습니다.



위 과정을 바탕으로 결합률을 계산해보겠습니다.



lifetime에 대한 다른 수식을 보겠습니다.
우선, 전체 캐리어의 증가율을 표현하면 다음과 같습니다.

αrn0p0 + gop

αrn0p0 : 전자, 홀 농도에 비례해서 EHP가 생성되기때문에 n0p0가 곱해지는 것이고 맨 앞은 상수입니다. gi 로 표기하기도 합니다.

gop : excess 캐리어를 발생시키는 원인에 의한 EHP 증가율입니다.

전자, 홀 농도에 비례해서 EHP가 생성된다고 했습니다.
그렇다면 위 수식은 이렇게 표시할수도 있습니다.

αrn0p0 + gop = αrnp : 앞의 두 항을 합친 것은 전체 전자, 홀 농도에 관한 식으로 볼 수 있습니다.

n = n0 + δn
p = p0 + δp
그리고 excess 전자의 생성률, 결합률은 excess 홀의 생성률, 결합률과 같다고 했지요.
초기조건만 같다면 δn = δp 인겁니다. (초기조건이 같다고 가정할겁니다.)

이를 기초로 수식을 정리해보면 다음과 같습니다.


더 줄여보지요.



이런 식이 나왔습니다.
우리가 앞서 δn = δp 을 가정했기때문에 δp도 같은 값이겠지만, 일반적인 식은 다음과 같습니다.


 
(5) 시간, 공간에 따른 Carrier 분포.
유도 과정은 복잡하니 생략.


공간에서 농도차이에 의한 확산(diffusion), 전기장에 의한 drift, EHP의 생성, 결합이 포함된 식입니다.
결국 미분방정식푸는건데 문제에서 주는 조건에 따라 아래 조건을 이용해서 식을 간단히 합니다.


(글씨체때문에 알아보기 힘드네요.)

D는 Diffusion coefficient (확산 상수)이고 보통 주어집니다.
모빌리티는 Einstein Relation으로 불리는 아래 식을 통해 구합니다.

모빌리티 구할 일은 앞으로도 자주 있으니 외워두면 편리합니다.


(6) Quasi-Fermi Energy level
Excess 캐리어로 인해 기존의 에너지 준위와 도핑 농도 사이의 식은 사용할 수 없어졌습니다.
캐리어 농도가 바뀌었으니 페르미 준위도 변화하겠지요.
상황이 바뀌어도 페르미 준위는 필요한 것이니 계산할 수 있어야합니다.



수식은 기존 것과 큰 차이가 없습니다.
Steady state에서의 페르미 준위를 Quasi-Fremi Energy level 이라고 다르게 부르는 것뿐입니다.


(7) Minority carrier
위의 수식들을보면 대부분 minority 캐리어를 사용하여 계산합니다.
PN접합에서 다루겠지만 excess 캐리어의 diffusion 에서 minority 캐리어가 많은 비중을 차지하고 있기때문입니다.
majority 캐리어는 재결합 비율이 낮고 농도가 높기때문에 공간에 따른 농도 차이가 거의 없고, 그 때문에 확산이 거의 일어나지 않기때문입니다.


-
원래 이거하면서 수식 안 쓰려고 했는데 이번엔 어쩔수가 없었네요.
다음부터는 다시 확 줄어들겁니다.
별로 쓸 일없는 유도같은 것도 생략할거고요.
다음은 PN접합입니다.
삼성에서 울 학교 교수님한테 PN접합하고 모스펫만 제대로 가르쳐서 보내면 된다는 소리를 했다던데 진짜인지 아닌지.




 

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Posted by gamma0burst Trackback 0 : Comment 47

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  2. addr | edit/del | reply 멍멍멍몽 2013.04.14 02:06 신고

    항상 잘보고 갑니다^^ 감사합니다.

  3. addr | edit/del | reply 이준상 2013.12.14 20:42 신고

    안녕하세요 설명 너무 감사합니다. 차근차근 반도체강의 다 읽는중인데 이번글 초반부에 오타가 있는거 아닌가해서요.
    평형상태에서 자유전자와 홀의 변화율은 둘다 0이긴하지만 intrinsic조건이 없다면 Gn=Rn , Gp=Rp 이지 Gn=Gp=Rn=Rp는 틀린거 아닌가요?

    • addr | edit/del Favicon of http://gamma0burst.tistory.com BlogIcon gamma0burst 2013.12.14 20:41 신고

      평형상태에서 그렇다는겁니다.
      generation rate와 recombination rate이 달라지면 carrier concentraion에 변화가 생기는데 평형상태에서는 carrier concentraion이 변화가 없으니까요.

  4. addr | edit/del | reply 이준상 2013.12.14 20:47 신고

    전자의 generation rate 와 recombination rate 는 같으므로 electron concentration의 변화가 없는거고
    홀의 generation rate 와 recombination rate 는 같으므로 hole concentration의 변화가없는거지만
    전자와 홀 모두의 generation rate와 recombination은 꼭 같을수 없지않나요? 특별한조건이 주어진게 아닌이상말이죠

    • addr | edit/del Favicon of http://gamma0burst.tistory.com BlogIcon gamma0burst 2013.12.14 20:53 신고

      외적 요인이 없으면 전자와 홀의 generation rate와 recombination rate는 같을 수 밖에 없지요.
      전자와 홀의 생성, 소멸원리가 EHP니까요.

  5. addr | edit/del | reply 이준상 2013.12.14 22:19 신고

    아 그러네요! EHP생각을 못햇네요 ㅎㅎ;; 포스팅글도 감사하고 빠른 댓글도 감사합니다

  6. addr | edit/del | reply 이히하 2014.04.04 01:44 신고

    감사합니다. 많은 도움이 되었습니다.

  7. addr | edit/del | reply EvinL 2014.04.14 15:51 신고

    gamma0burst님은 저의 구세주입니다!!!
    나중에 반도체 관련 인강을 해보시는 것이 어떨런지,,
    그정도로 정말 유익했습니다!!

    질문이 있습니다. excess ccarrier의 수식적 표현에서,,
    p-type을 기준으로 한 계산으로 부분이 이해가 안됩니다. 왜 excess electron rate식에 p0에서 갑자기 타우n0로 변형되는지..

    • addr | edit/del Favicon of http://gamma0burst.tistory.com BlogIcon gamma0burst 2014.04.14 16:50 신고

      그 식 위에 δn(t) 식이 두 가지 방식으로 표시되는데, Rn'은 각각 그걸 t에 대해 미분한 식입니다.

  8. addr | edit/del | reply 2014.04.17 22:02

    비밀댓글입니다

    • addr | edit/del Favicon of http://gamma0burst.tistory.com BlogIcon gamma0burst 2014.04.18 17:31 신고

      캐리어가 격자 내부에서 움질일 때 주위 원자나 전자기장 등의 영향으로 속도가 빨라지거나 느려집니다.
      가해진 힘에 비해 속도가 빨라지거나 느려지는건데 이러면 캐리어 집단의 거동을 예측하기가 힘듭니다.
      기존의 물리법칙을 그대로 적용하기위해 속도의 변화가 질량의 변화때문이라고 해석하는겁니다.
      가해진 힘에 비해 속도가 빠르면 질량이 가벼워졌기때문이라고 해석하고, 속도가 느리면 질량이 무거워졌다고 해석하는겁니다.
      캐리어 개개의 움직임을 계산하는건 불가능하기때문에 캐리어군(群) 속도를 통계적으로 구합니다.

  9. addr | edit/del | reply 힝구리 2014.04.29 20:56 신고

    오 면접준비중인데 굉장히 유용하네요. 감샤 감샤

  10. addr | edit/del | reply 화학전공 2014.11.05 22:21 신고

    좋은자료 너무나 감사 드립니다

    비록 화학전공이지만 이해가 되기 쉽게 잘써주셨네요 ㅎㅎㅎ

  11. addr | edit/del | reply BlogIcon 2015.01.11 20:56 신고

    혹시 열평형상태가뭔지정확히알수잇을까요
    공부하다보니까 평형상태면 커런트가안흐르고그래서 페르미준위변화량이 0 이라는거같은데
    이말도맞는지궁금합니다

    • addr | edit/del Favicon of http://gamma0burst.tistory.com BlogIcon gamma0burst 2015.01.12 17:00 신고

      어떤 물체를 전체적으로 봤을 때 각 부분 간에 열교환이 없는 상태를 말합니다.
      직관적으로 설명하면 물체 각 부분의 온도가 다 같은 상태라고 보면 됩니다.

      열평형상태에서는 바이어스 등의 외부 영향이 없는 상태인데, 일반적으로 반도체는 그럴 때 전류가 흐르지 않습니다.
      말씀하신게 맞다고 봐도 무방합니다.

  12. addr | edit/del | reply BlogIcon 2015.01.12 20:20 신고

    그렇군요!아래질문한사람인데
    열평형상태에선 저절로 전자와정공이생성되길반복해서 일정한캐리어농도를유지하다가 어느열이나외부힘?을받으면 제너레이션 리컴비네이션이일어나서 추가적인 excess 캐리어가생기는거맞나요?

    • addr | edit/del BlogIcon 2015.01.12 20:23 신고

      그리고 평소에 일정하게 캐리어농도가일정하게유지될때 일어나는 전자생성과소멸은 제너레이션 리컴비내이션이라안부르는건가요?
      아니면그때도같은 제너레이션리콤비내이션인가요?

    • addr | edit/del Favicon of http://gamma0burst.tistory.com BlogIcon gamma0burst 2015.01.13 18:45 신고

      열평형상태이든 아니든 generation/recombination rate는 있습니다.
      상태에 따라 각 값이 달라지는거고요.

      열평형상태에서는 저 둘의 값이 같아서 결과적으로 캐리어 농도가 일정하게 보이는거고, 외부의 영향으로 저 값에 차이가 생기기 시작하면 캐리어의 증감이 일어납니다.
      대게 캐리어가 줄어드는 경우는 다루는 의미가 없기때문에 늘어나는 상황을 가정하고, 늘어난 캐리어를 excess 캐리어라고 합니다.

  13. addr | edit/del | reply 직장인 2015.05.08 14:02 신고

    감사합니다. 많은 자료와 포스팅을 봤지만, 이만큼 잘 정리된 강좌가 없네요.

  14. addr | edit/del | reply BlogIcon 대학생 2015.06.10 12:12 신고

    정말 감사합니다 많은 도움이되었습니다

  15. addr | edit/del | reply BlogIcon 강낭콩 2015.10.18 17:18 신고

    와... 감사합니다~~ 물리전자배우고있는데 평형상태에있는 반도체에 대한것만 배우고있어서 평형상태, 열평형상태, 비평형상태가 뭔지 궁금했는데 도움많이되었습니다 ㅎㅎ

  16. addr | edit/del | reply BlogIcon 강낭콩 2015.10.18 17:45 신고

    열평형상태이면 전자와 홀이 생성과 결합을 반복하면서 캐리어농도가 일정하고 평형상태는 캐리어농도가 일정한것을 말한다 하셨는데 그렇다면 열평형상태와 평형상태는 서로 필요충분조건인가요?

    • addr | edit/del Favicon of http://gamma0burst.tistory.com BlogIcon gamma0burst 2015.10.19 01:54 신고

      평형상태가 열평형상태를 포함하는 개념입니다.
      원인이 열이면 열평형이고 전압같은 다른 요소가 개입되면 열평형상태라 부를 수 없겠지요.

  17. addr | edit/del | reply 2015.10.25 22:59

    비밀댓글입니다

  18. addr | edit/del | reply dfdds 2015.11.10 12:35 신고

    저는 다른 노트에서 (4) excessive carrier recombination을 봤는데요. 식 (4) 앞에 선행해 열적 평형상태에 대한 캐리어 변화율로,
    a_r*n_i^2 = a_r(n_0*p_0) -- (3) 이게 나왔거든요?

    식 (4)를 해석하자면,
    1. 외부적 요인에 인한 생성률 변화는 없다. (excessive carrier가 계속 만들어진다면 생성률은 a_r*n_i^2 이상이어야 한다.)
    2. 광자 때문이든, 불규칙한 온도 그래디언트 때문이든, excessive carrier가 생성된 상태이다 (delta n과 delta p가 있으므로).
    3. 이들의 recomb. rate const. 은 식 (3)과 동일하다.

    근데 위에 식 (3)의 a_r 상수가 식(4)에도 쓰일 수 있는지.. 그게 좀 헷갈리네요. 화학적 평형에서는 어느 한 방향으로 평형이 무너지면, 그 역방향 reaction이 가속화 되고, 무너진 방향의 reaction은 억제되거든요 (느려지거든요).

    recomb. rate const.는 비평형상태에서도 항상 똑같은가요?

  19. addr | edit/del | reply ㅁㄴㅇㅁㅇㄴ 2015.11.10 12:39 신고

    다시 말하자면 recombination 이 진행되는 속도는 excessive carrier의 숫자에 무관한가요? 식 (3) 열적 평형상태 때 generation rate을 식 (4)의 generation rate으로 넣은 게, background effect기 때문에 그렇다고.. 직관적으로는 해석이 가능한데 뭔가 찝찝하네요

    • addr | edit/del Favicon of http://gamma0burst.tistory.com BlogIcon gamma0burst 2015.11.11 02:02 신고

      조건을 steady state로 가정했습니다.
      이건 시간에 대한 각 rate의 변화율이 일정하다는 의미입니다.
      그렇기때문에 excess carrier와 recombination rate는 사실상 관계가 없다고 볼 수 있게 됩니다. (원리적으로는 관계가 있을 수 있겠으나 수식적으로는 없습니다.)

      화학적 평형을 예로 드셨는데 거기서 역방향 반응이 가속화되는건 닫힌 계에 가깝기때문이지 않을까 싶습니다.
      (반응 결과물이 초기 농도에 영향을 끼치는 형태.)
      그에 반해 반도체에서는 그런 영향을 생각하기 힘듭니다.
      excess carrier를 고려해도 majority carrier에 비하면 크지 않고, 개념적으로는 ni나 n0를 거의 화수분처럼 생각할 수 있는 수준이라서요.
      EHP가 있다고해서 변화하는 값으로 취급되지 않습니다.
      (실제로는 majority carrier 농도보다 excess carrier가 큰 경우도 있는데 이 경우를 steady state라고 보기는 힘들겠지요.)

  20. addr | edit/del | reply asdsad 2015.11.11 16:12 신고

    아... 날아깠네요 -ㅇ-

    하나 더 여쭙고 싶은 게 있습니다.

    식 (3) 은 열적 평형상태, 그리고 non-excessive carrier 상태일 때 성립되는 식입니다.이 상태에서는, generation rate = recombination rate 이므로 generation rate을 a_r*ni^2라고 기술할 수 있죠.

    그리고 식 (4)는 excessive carrier, 의 generation rate은 a_r*ni^2로, 식 (3)과 동일합니다. 동일하게, 열적평형상태로 가정을 합니다. (직관적으로, 아닐 경우 generation rate은 더 커지거나 작아져야 합니다). 여기서, generation rate은 동일한 열적평형 상태이므로 a_r*ni^2으로 가정해도 '될 것 같지만', 엄연히 두 시스템은 다른 상태에 있습니다 (평형 vs 비평형).

    결국, 위의 식들은 geneartion rate은 concetnration 상태에 독립적이며, a_r 역시 마찬가지임을 말해줍니다. 직관적으론 이해가 갑니다만, 살짝 찝찝한게 뭐냐면.

    1. 왜 concetnration 상태에 독립적인가.

    2. 예를 들어 빛을 순간적으로 쪼여 excessive carrier를 만든 뒤, 빛을 꺼버린다면 식 (4)의 형태로 기술할 수 있을 겁니다(excessive carrier들은 더 이상 만들어지지 않고, 이미 만들어진 excessive carrier들은 재결합 합니다). 하지만 재결합 도중에 튀어나오는 포톤들은 어느 정도 열로 변환되지 않을까요?

    여기서 물리적으로 왜 그런지 설명해 주실 수 있으실까요.


    • addr | edit/del Favicon of http://gamma0burst.tistory.com BlogIcon gamma0burst 2015.11.15 02:40 신고

      -
      1.
      excess carrier을 발생시키는 원인은 이 모델의 계와 별개로 존재할테니까요. 그게 전류이든 빛이든 말이지요.
      그러니 그 원인이 있기 전부터 캐리어를 발생시키던 요소들과 독립적으로 존재합니다. (상온, 도핑 등)
      generation rate가 독립적이라는겁니다.
      그래서 수식으로도 αrn0p0 + gop = αrnp 로 표기했지요.
      (excess carrier 유발 요소를 gop로 별개 표기.)

      2.
      재결합에서 광자(포톤) 방출, 즉 빛이 나오지 않는 한 재결합 과정에서 전자가 잃는 에너지(에너지 전위가 낮아지니.)는 열(포논)로 방출됩니다.

  21. addr | edit/del | reply 오타 2016.11.22 20:31 신고

    (6)에서 fermi인데 fremi로 오타있어요

    그리고 ni^2-n(t)p(t)
    이 식이 왜 생성률에서 결합률을 뺀 식이되는거죠??? 생성률 결합률은 g 하고 r 로써있는데 어떻게되는지 모르겠어요

    • addr | edit/del Favicon of http://gamma0burst.tistory.com BlogIcon gamma0burst 2016.11.23 08:09 신고

      앞에 상수 곱해줘야 합니다.

      ni^2 = n0p0 라는 고정식을 시간에 대한 함수로 바꾼겁니다.
      생선된 전자에서 결합되어 사라진 전자를 뺀게 남아 있는 전자가 되고 이 전자의 개수에 대한 식이 n(t) 입니다.
      n(t)의 시간에 대한 변화율은 전자의 증감식이 되고 이건 전자의 시간당 생성수(생성률)에서 시간당 결합(감소)수(결합률)을 뺀 식이 되는거고요.



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