반도체 강좌. (4) Nonequilibrium Excess Carriers

앞서 Equilibrium state, 즉 평형상태에서 반도체를 보았습니다.
하지만 현실에 평형상태만 있는건 아니지요.
이번에는 비평형상태와 그로 인해 발생하는 초과 캐리어를 보겠습니다.
Nonequilibrium states, Excess Carriers
Excess Carriers 는 과잉 캐리어로 해석하는 것으로 보입니다만, 여기서는 초과 캐리어로 쓰겠습니다.
그 쪽이 더 적합해보입니다.


(1) Nonequilibrium state
비평형상태가 무엇인지 알아겠지요?
평형상태가 아닌 상태가 비평형상태이니 먼저 평형상태가 어떤 상태를 말하는 것인지 정의해야합니다.

앞서 열평형상태에서 열에 의해 전자와 홀이 생성과 결합을 반복하면서 일정한 캐리어 농도가 유지된다고 언급했습니다.
전자와 홀의 생성속도, 결합속도를 정량화해서 수식화해볼 수 있습니다.

G_n0 : 전자의 Thermal-generation rate [#/cm³-s]
G_p0 : 홀의 Thermal-generation rate [#/cm³-s]
도핑에 의해 생성된 캐리어는 일정하게 유지되지만, 열에 의해 캐리어의 추가적인 생성이 이루어지기때문에 Thermal-generation rate 입니다.
전자와 홀이 증가하는 비율입니다.

R_n0 : 전자의 Recombination rate [#/cm³-s]
R_p0 : 홀의 Recombination rate [#/cm³-s]
전자와 홀의 초당 결합 비율. 전자와 홀이 감소하는 비율이지요.

평형상태라는건 캐리어 농도가 일정한 것, 즉 n₀, p₀ 가 일정하다는 상태를 말하는 것이지요.
식으로 표현하면 G_n0 = G_p0 = R_n0 = R_p0 입니다.

비평형상태는 전자와 홀의 생성률, 결합률이 서로 달라지면서 전체 캐리어 수가 증가, 또는 감소하는 상태를 말하는겁니다.


(2) Excess Carrier
Excess Carrier는 n₀, p₀ 외에 추가적인 캐리어입니다.

생성원인은 다양합니다.
밴드갭 이상의 에너지를 가진 광자(빛)일수도 있고, (광자의 에너지는 hν 이지요.)
불균등한 열 분포일수도 있고, 전압과 전류일수도 있습니다.
어떤 경로로 생성됐든 Excess 캐리어도 본질적으로 전자와 홀이니 생성률, 결합률이 있습니다.
그 외 앞으로 나올 상수들을 다 표시해보겠습니다.

g'_n : Excess 전자의 generation rate [#/cm³-s]
g'_p : Excess 홀의 generation rate [#/cm³-s]

R'_n : 전자의 Recombination rate [#/cm³-s]
R'_p : 홀의 Recombination rate [#/cm³-s]

δn : Excess electron
δp : Excess hole
(n,p 앞에 붙는건 델타)

τ_n0 : Excess minority electron lifetime
τ_p0 : Excess minority hole lifetime


전체 캐리어는 기존의 thermal equilibrium 전자, 홀에 excess 전자, 홀을 더한겁니다.
n = n₀ + δn
p = p₀ + δp

excess 캐리어의 발생 원인에 대해 얘기했지만 대부분 전자와 홀이 동시에 발생, 소멸합니다.
대부분의 경우가 외부에서 캐리어가 유입되는 것이 아니라 반도체 내에서 EHP가 추가로 생성되는 과정입니다.
excess 캐리어도 EHP 개념이 그대로 적용될 수 있는 것이지요.
그렇기때문에 R'_n = R'_p 이고 g'_n = g'_p 입니다.


(3) Steady state
excess 캐리어가 포함되면서 열평형상태에서의 식들은 대부분 무용지물이 되었습니다.
그렇다고 손 놔버릴수는 없겠지요.
계산이 가능할 정도로 조건을 제한할 필요가 있습니다.
그러한 가정이 Steady state 입니다.
정상상태라고 하지요.
위에서 언급했던 generation rate, recombination rate 등은 모두 시간에 대한 변화량을 말하는 것인데,
시간에 대한 변화량이 일정한 것(상수)이 정상상태입니다.


(4) Excess carrier 의 수식적 표현.
Excess 캐리어의 개념은 비교적 간단하지만 결국 우리에게 필요한건 수학적으로 풀 수 있는 수식이지요.
먼저 전자에 대한 식부터.

시간에 대한 전자농도함수인 n(t)의 시간에 대한 변화율은 전자의 생성률에서 결합률을 뺀 식이 되겠지요.
n = n₀ + δn 인데 시간에 대한 함수로 표현하면, n(t) = n₀ + δn(t) 이니 시간으로 미분하면 n₀는 없어집니다.

마지막 단계에서 δn²(t) 이 생략된건 n₀, p₀ 대비 너무 작아서 무시할 수 있기때문입니다.
δn이 매우 작다는데 필요한 가정이 Low-level Injection 입니다.
excess 캐리어 농도가 majority 캐리어 농도보다 매우 작은 경우를 말합니다.
PN접합 이후에도 간간히 나오는 가정이니 알아두면 편할겁니다.

위의 마지막 식은 1계 미분방정식인데 이걸 풀어보면 다음과 같습니다.


p-type을 기준으로 한 계산으로 p₀ >> n₀ 이기때문에 n₀는 무시되었습니다.
n-type이라면 다음과 같습니다.

초기 값에서 지수적(Exponential)으로 감소하는 것을 볼 수 있습니다.
이는 Excess 캐리어가 농도 차이에 의해 주변으로 확산(diffusion)되는 것인데,
앞으로 보게될 거의 모든 캐리어 확산이 Exponential하게 일어납니다.

여기서 처음으로 캐리어의 lifetime, τ가 나옵니다.
캐리어가 생성되어서 재결합으로 사라질 때까지의 평균시간입니다.
스케일이 작은만큼 통계적인 방식으로 표시할 수 밖에 없지요.
수식적으로는 다음과 같습니다.

위 과정을 바탕으로 결합률을 계산해보겠습니다.



lifetime에 대한 다른 수식을 보겠습니다.
우선, 전체 캐리어의 증가율을 표현하면 다음과 같습니다.

α_rn₀p₀ + g_op

α_rn₀p₀ : 전자, 홀 농도에 비례해서 EHP가 생성되기때문에 n₀p₀가 곱해지는 것이고 맨 앞은 상수입니다. g_i 로 표기하기도 합니다.
g_op : excess 캐리어를 발생시키는 원인에 의한 EHP 증가율입니다.

전자, 홀 농도에 비례해서 EHP가 생성된다고 했습니다.
그렇다면 위 수식은 이렇게 표시할수도 있습니다.

α_rn₀p₀ + g_op = α_rnp : 앞의 두 항을 합친 것은 전체 전자, 홀 농도에 관한 식으로 볼 수 있습니다.
n = n₀ + δn
p = p₀ + δp
그리고 excess 전자의 생성률, 결합률은 excess 홀의 생성률, 결합률과 같다고 했지요.
초기조건만 같다면 δn = δp 인겁니다. (초기조건이 같다고 가정할겁니다.)

이를 기초로 수식을 정리해보면 다음과 같습니다.


더 줄여보지요.



이런 식이 나왔습니다.
우리가 앞서 δn = δp 을 가정했기때문에 δp도 같은 값이겠지만, 일반적인 식은 다음과 같습니다.


 
(5) 시간, 공간에 따른 Carrier 분포.
유도 과정은 복잡하니 생략.

공간에서 농도차이에 의한 확산(diffusion), 전기장에 의한 drift, EHP의 생성, 결합이 포함된 식입니다.
결국 미분방정식푸는건데 문제에서 주는 조건에 따라 아래 조건을 이용해서 식을 간단히 합니다.


(글씨체때문에 알아보기 힘드네요.)

D는 Diffusion coefficient (확산 상수)이고 보통 주어집니다.
모빌리티는 Einstein Relation으로 불리는 아래 식을 통해 구합니다.

모빌리티 구할 일은 앞으로도 자주 있으니 외워두면 편리합니다.


(6) Quasi-Fermi Energy level
Excess 캐리어로 인해 기존의 에너지 준위와 도핑 농도 사이의 식은 사용할 수 없어졌습니다.
캐리어 농도가 바뀌었으니 페르미 준위도 변화하겠지요.
상황이 바뀌어도 페르미 준위는 필요한 것이니 계산할 수 있어야합니다.

수식은 기존 것과 큰 차이가 없습니다.
Steady state에서의 페르미 준위를 Quasi-Fremi Energy level 이라고 다르게 부르는 것뿐입니다.

(7) Minority carrier
위의 수식들을보면 대부분 minority 캐리어를 사용하여 계산합니다.
PN접합에서 다루겠지만 excess 캐리어의 diffusion 에서 minority 캐리어가 많은 비중을 차지하고 있기때문입니다.
majority 캐리어는 재결합 비율이 낮고 농도가 높기때문에 공간에 따른 농도 차이가 거의 없고, 그 때문에 확산이 거의 일어나지 않기때문입니다.


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원래 이거하면서 수식 안 쓰려고 했는데 이번엔 어쩔수가 없었네요.
다음부터는 다시 확 줄어들겁니다.
별로 쓸 일없는 유도같은 것도 생략할거고요.
다음은 PN접합입니다.
삼성에서 울 학교 교수님한테 PN접합하고 모스펫만 제대로 가르쳐서 보내면 된다는 소리를 했다던데 진짜인지 아닌지.