오랜만입니다.
보는 분이 있을지 모르겠지만, 어쨌든 이전 편에서는 도핑, 캐리어, intrinsic 반도체, extrinsic 반도체에 대해 다뤘습니다.
이번 편에서는 앞서 다뤘던 요소들이 에너지 밴드 차원에서는 어떻게 나타나는지 다뤄보겠습니다.
앞서 다룬 내용이 바탕이 되기때문에 잘 모르겠으면 이전 편을 참고.
(
반도체 강좌. (2) 반도체와 캐리어.)


(1) 에너지 준위에 따른 전자의 분포와 페르미 준위. (Fermi level)

반도체에서의 전류를 예측, 계산하기위해서는 캐리어의 농도를 알아야합니다.
캐리어의 농도는 Conduction band(이하, 컨덕션 밴드)에 존재하는 전자의 농도와 관련이 있기때문에 주어진 조건에서 컨덕션 밴드에 전자가 얼마나 있는지를 계산해야합니다.

전자니 홀이니 하는 것들의 스케일이 너무나 미시적이기때문에 여기서는 양자통계역학을 사용합니다.
그 중에서 사용되는 것이 페르미-디락 통계. (Fermi-Dirac statistics)
(열역학에서는 보즈-아인슈타인 통계를 사용하는데, 이는 입자의 특성이 다르기때문. 물론 여기서는 별로 상관없는 얘기입니다.)



(복잡한 수식은 html 에서 제대로 표시하기 힘들어서 참 귀찮습니다.ㅋ)

f(E) 는 전자가 E 라는 크기의 에너지를 갖고 있을 확률입니다.
k 는 볼츠만 상수.
T 는 절대온도.
EF 는 페르미 준위입니다.

볼츠만 상수는 8.62 x 10-5 eV/K
J/K 단위로도 쓰지만, E 의 단위가 eV 이기때문에 볼츠만 상수도 eV/K 단위의 값을 써야합니다.

계산해보면 알겠지만, f(EF) = 0.5 입니다.
즉, 페르미 준위는 전자가 존재할 확률이 50% 인 에너지 준위를 말하는겁니다.
(여담입니다만, 교수님들 중에는 퍼ㄹ~미 라고 읽으라는 분도 있습니다. 미국식 발음이라나?)

페르미 준위에 해당하는 에너지를 전자가 가질 확률이 50% 라는 것이지, 실제로 전체 전자 중 절반이 페르미 준위에 해당하는 에너지를 갖는건 아닙니다.


(2) Intrinsic 반도체에서의 전자 분포.

위의 확률 분포를 그래프로 표시해보면 아래와 같습니다.



Intrinsic 반도체에서 페르미 준위는 에너지 갭의 중간입니다.
전자와 홀의 농도가 같으니 어찌보면 당연합니다.

절대 0도에서는 열에 의한 전자의 운동에너지가 없기때문에 모두 베일런스 밴드에 존재합니다.
(보통 대부분의 반도체 수업에서는 밸런스라고 함.)
하지만 전자가 존재할 확률이 컨덕션 밴드에서 0 이고, 페르미 준위에서 0.5 라는 것도 사실입니다.
그래도 맨 왼쪽의 불연속적인 그래프가 나오는겁니다.

여기서 온도가 상승하기 시작하면 상황은 달라집니다.
전자가 열에 의한 운동에너지를 갖기 시작하는데, 이 에너지의 크기가 밴드갭의 크기에 미치지 않아도 양자역학적으로 밴드갭을 뛰어넘을 수 있다고 언급한 적이 있습니다.
(1차원에 대한 슈뢰딩거 방정식만 풀어봐도 최소한 확률이 0 이 아니라는건 알 수 있습니다.)
이러한 확률을 그래프로 나타내보면 중앙의 그래프와 같이 연속적인 확률 분포가 나타납니다.
미세하게나마 전자가 컨덕션 밴드 이상의 에너지를 가질 확률이 존재합니다.
즉, 자유전자와 홀, EHP 가 발생할 확률이 존재하는겁니다.
이 확률이 현실로 드러나는 것이 Intrinsic 캐리어 농도입니다. (300K 에서 ni = 1.5 x 1010cm-3 였지요.)

그리고 온도가 더 높아지면, 전자가 컨덕션 밴드 이상의 에너지를 가질 확률은 더 커집니다.
(맨 오른쪽 그래프)
온도가 높아질수록 ni 가 커지는 이유가 바로 이겁니다.




(3) n-type 반도체에서의 페르미 준위와 전자 분포.

아시다시피 n-type 반도체에는 donor가 도핑되어있습니다.
그리고 donor 원자 하나는 자유전자 하나를 만들어내고요.



이것을 에너지 밴드 차원에서 해석해보면 위와 같습니다.
실리콘 격자 구조에 donor 가 도핑되면서, 밴드갭 내에 donor 준위(donor level)가 발생하는데,
그 특성상 컨덕션 밴드와 에너지 차이가 매우 작습니다.
donor 원자로부터 최외각 전자가 이탈하는데 필요한 에너지가 적은 것이지요.


컨덕션 밴드로 전자가 이동하는데 필요한 에너지가 더 적다는 것은 곧 컨덕션 밴드에 전자가 존재할 확률이 높아지는 것을 의미합니다.
즉, 페르미 준위가 Intrinsic 반도체에 비해 더 높아지는 것이지요.


뒤에서 수식을 다루겠지만, donor 준위가 곧 페르미 준위인 것은 아닙니다.
donor 준위는 donor 원자의 특성에 의해 결정되는 고정된 값이지만, 페르미 준위는 도핑되는 불순물의 농도에 따라 변화하는 값입니다.
n-type 의 경우, donor 의 도핑 농도가 높아질수록 페르미 준위가 컨덕션 밴드에 가까워지며,
경우에 따라서는 컨던션 밴드보다 높아지기도 합니다.

(이런 경우는 과도핑에 의해 컨덕션 밴드에 전자가 포화상태에 이른 것입니다.)


(4) p-type 반도체에서의 페르미 준위와 전자 분포.

p-type 반도체에는 acceptor가 도핑되어있고, acceptor 원자 하나는 홀을 하나 발생시킵니다.



이것을 에너지 밴드 차원에서 표현해보면 위와 같습니다.
실리콘 격자 구조에 acceptor 가 도핑되면서, 밴드갭 내에 acceptor 준위(acceptor level)가 발생하는데,
그 특성상 베일런스 밴드와 에너지 차이가 매우 작습니다.
적은 에너지만으로 베일런스 밴드에 존재하는 전자가 acceptor 원자와 결합할 수 있고, 베일런스 밴드에는 전자가 빠져나간 빈 자리, 홀이 발생하는겁니다.


acceptor 준위로 전자가 이동하는데 필요한 에너지가 더 적다는 것은,
곧 베일런스 밴드를 벗어난 전자가 acceptor 준위에 머물 확률이 높아진다는걸 의미하고,
더불어 컨덕션 밴드까지 전자가 이동할 확률이 더 낮아졌다는 것을 의미합니다.

즉, 페르미 준위가 Intrinsic 반도체에 비해 더 낮아지는 것이지요.



캐리어를 논할 때 어쩔수없이 전자가 중심이 되기때문에 전자의 확률 분포를 다뤘지만, 사실 홀의 확률 분포도 존재합니다.
수식적으로는 1 - f(E) 가 됩니다.
그래프는, 전자의 확률분포 그래프를 페르미 준위를 중심으로 상하 반전시키면 됩니다.

위 그래프는 홀의 확률 분포를 나타낸 것으로, p-type 에서는 홀이 majority 캐리어이기때문에 홀의 분포를 중점적으로 보는게 타당하다고 볼 수 있습니다.

p-type 에서도 마찬가지로 acceptor 준위가 곧 페르미 준위인 것은 아닙니다.
acceptor 준위는 acceptor 원자의 특성에 의해 결정되는 고정된 값이고, 페르미 준위는 도핑되는 불순물의 농도에 따라 변화하는 값입니다.
p-type 의 경우, acceptor 의 도핑 농도가 높아질수록 페르미 준위가 베일런스 밴드에 가까워집니다.


(5) 에너지 준위와 캐리어 농도.

이제까지 각 조건에 따른 전자의 분포 확률을 알았으니, 이걸 토대로 캐리어의 농도를 구할 차례입니다.



기본 개념은 이겁니다.

특정 에너지 준위에 전자가 존재할 확률 f(E)
특정 에너지 준위에 전자가 있을 수 있는 상태의 밀도, 상태밀도함수(density of states). N(E)
이 둘을 곱하면 특정 에너지 준위에 존재하는 전자의 수가 나옵니다.

이것을 Ec 에서 무한대의 구간에서 에너지 준위에 대해 적분하면 반도체 내의 총 전자농도가 나옵니다.

Ec 는 컨덕션 밴드가 시작되는 에너지 준위이고, Ec 부터 무한대의 에너지 준위를 구간을 잡은 것은 컨덕션 밴드 이상의 에너지를 갖는 전자가 캐리어이기때문.

사실 캐리어 농도를 구하는데 있어서 이 방식은 매우 귀찮습니다.
반도체를 제조하는 입장에서 통제할 수 있는 요소, 손쉽게 계산할 수 있는 요소, 다양한 계산에 응용할 수 있는 요소만으로 구성된 식이 더 편리하겠지요.

그래서 위의 개념을 토대로 유도 과정을 거쳐 다음의 식이 나옵니다.
(거의 사용하지 않는지라 여기서는 생략.)



(n-type 에서의 전자 농도식)


(p-type 에서의 홀 농도식)

Ei 는 intrinsic level 이라고 하며, intrinsic 상태에서의 페르미 준위를 의미합니다.
밴드갭의 가운데이지요.
수식적으로는 Ec - Ei = Eg /2

각 식을 보면 앞서 말한, 우리가 필요한 요소만으로 구성되어있습니다.
intrinsic 준위, 온도, intrinsic 캐리어 농도는 온도만 알면 쉽게 알 수 있는 수치이며,
전자, 홀 농도는 제조하는 측에서 도핑 농도만 알면 쉽게 알 수 있는 수치입니다.
페르미 준위는 반도체의 특성을 분석하는데 있어서 다양하게 쓰이는 값입니다.

물론 위의 식은 열적평형(Thermal Equilibrium) 상태에서 성립하는 식이기때문에 무조건적으로 모든 상황에 적용할 수는 없습니다.


-
이제 다음으로 excess-carrier 에 대해 다뤄야하는데, 이게 복잡해서 언제쯤 쓸 수 있으련지...
하긴 그 뒤에 최종보스인 PN-junction 에 비하면 별 것 아니긴합니다만...;;


 

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Posted by gamma0burst Trackback 0 : Comment 80

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  2. addr | edit/del | reply 이원찬 2013.04.25 13:54 신고

    정말너무감사하고 유용해서 댓글처음달아봅니다
    정말잘보고가여ㅎ 앞으로도 좋은설명부탁드립니다

  3. addr | edit/del | reply 반도체과 2013.04.30 13:30 신고

    (1)에서 페르미 디랙 통계 수식 적혀있는 부분 좀 의아해서 그런데요.
    왜 확률이 뜬금없이 계산해보면 0.5가 나오나요? 온도도 모르고 에너지도 모르는데 계산을 어떻게 해야
    0.5가 나오나요?

    • addr | edit/del Favicon of http://gamma0burst.tistory.com BlogIcon gamma0burst 2013.04.30 14:13 신고

      f(E) 수식에서 변수는 E 하나뿐입니다.
      E에 Ef를 넣으면 0.5가 나오지요.
      1/(1+e^0) = 0.5
      애초에 확률이 0.5인 E값을 페르미 레벨로 정의하고 수식을 세운 것이니 당연한 결과입니다.

  4. addr | edit/del | reply BlogIcon 박세원 2013.10.20 20:46 신고

    공부하는데 모르는게 잇어서 질문좀 드려도될까요?
    마지막에 열적평형상태일때 성립한다고했는데 구체적으로 열적 평형 상태가 무엇인가요?
    그리고 반도체가 도핑을 할려면 온도가 T=0일땐 불가능한가요?

    • addr | edit/del Favicon of http://gamma0burst.tistory.com BlogIcon gamma0burst 2013.10.20 22:55 신고

      열적평형상태는 온도가 일정하거나 해석하려는 구간에서 온도 차이가 없다는 의미입니다.
      그렇기때문에 온도로 인해 발생할 수 있는 '시간에 대한 변화율'이 0 이고 열적으로 평형상태가 됩니다.

      일단 T=0K 상태는 만들수가 없습니다.
      반도체 공정상 도핑은 크게 두 단계입니다.
      이온을 (쉽게 말해) 때려박는 Ion Implantation(이온 주입)
      주입된 이온을 웨이퍼 내에 확산시키는 Diffusion(확산)
      디퓨젼은 대표적인 고온공정입니다.
      보통 1000도씨 이상에서 진행됩니다.
      저온에서는 도핑이 이루어질 수 없는 구조이지요.

  5. addr | edit/del | reply 공대녀 2013.10.25 16:33 신고

    반도체공부하다가 도움받고가요ㅜㅜ고마워요!

  6. addr | edit/del | reply 공대포 2014.04.15 19:51 신고

    intrinsic 반도체에서 Fermi level이 중앙에 있지 않은 것으로 아는데 잘못된 정보같네요.
    양자상태밀도X페르미함수가 전공농도의 분포인데 여기서 양자상태밀도가 가전자대와 전도대에서 effetive mass가 다르기 때문에 Fermi level은 중간보다 살짝 빗나가 있습니다.

  7. addr | edit/del | reply 반도체포기남ㅠ 2014.04.19 23:40 신고

    와.. 반도체 Neamen책 보고 있는데 쓸데없는 수식에 매여서 막상 뼈대인 줄기의 흐름을 못따라가고 있었거든요ㅠㅠ
    이 글 하나로 명쾌하게 정리해주시네요. 감사합니다~!!!
    2014년에 이 블로그에 들어와서 다행이에요 PN까지 볼 수 있다니ㅋㅋㅋㅋ

  8. addr | edit/del | reply BlogIcon 신신싴 2014.06.11 12:54 신고

    유익한정보 정말 감사합니다~질문이있는데 에너지밴드다이어그램을 pn접합다이오드라고 생각하면되나요?? Pn다이오드에는 공핍층이라는게있는데 그거는 에너지밴드다이어그램에서 중간영역인건가요?

    • addr | edit/del Favicon of http://gamma0burst.tistory.com BlogIcon gamma0burst 2014.06.12 02:38 신고

      내용을 봐서는 pn접합의 에너지밴드를 생각하고 말씀하신 것 같네요.

      기본적으로는 중간에 밴드가 휘는 부분이 공핍층입니다.
      다만 실제로는 공핍층 경계에 칼같이 맞춰서 휘기 시작하는건 아니고, 캐리어 확산으로 밴드의 flat한 부분이 공핍층 구간쪽으로 약간 더 확장된다고 합니다.

  9. addr | edit/del | reply BlogIcon 반도체녀 2014.06.12 09:56 신고

    설명 잘 해주셔서 이해가 잘 됏어요!
    질문이 하나 있는데요 캐리어농도를 ni라고 하는데 책을 보다보면 pi라는것도 잇는데 이건 뭔가요??

    • addr | edit/del Favicon of http://gamma0burst.tistory.com BlogIcon gamma0burst 2014.06.13 00:06 신고

      감사합니다.
      pi는 intrinsic hole concentration 입니다.
      ni는 intrinsic electron concentration 인데 책에서는 보통 ni=pi 이기때문이기도하고 홀이 전자의 운동에 대한 다른 표현인 것도 있고해서 ni로 표시합니다.

  10. addr | edit/del | reply 역사 2014.06.17 19:19 신고

    여담이지만 교수님중에 오일러를 율려로 읽는 분들이 종종 계시더라구요

    미국에서 학위 하면 그런가봅니다.

  11. addr | edit/del | reply 전자 2014.06.18 04:37 신고

    물리전자 공부하다 이해가 안돼서 검색하다 들어왔는데 정말 도움 많이 되었어요ㅠㅠㅠ 감사합니다
    교재에는 대체 뭔소린지 모르게 써있는데 정말 이해가 잘되게 쓰셨어요!!

  12. addr | edit/del | reply BlogIcon 정지훈 2015.03.15 12:29 신고

    너무잘읽었습니다 감사합니다! 혹시 질문도 받으시는지 여쭈고 싶습니다ㅎ

    • addr | edit/del Favicon of http://gamma0burst.tistory.com BlogIcon gamma0burst 2015.03.15 14:21 신고

      감사합니다.
      자유롭게 질문하셔도 됩니다.
      제가 아는 한도에서 답변해드립니다.

  13. addr | edit/del | reply Favicon of http://hdnua.tistory.com BlogIcon 누아니 2015.09.30 01:20 신고

    인쇄하고 싶은데 인쇄 버튼이 어디있는지 잘 안 보이는군요. (결국 크롬 브라우저 인쇄 기능을 쓰긴 했는데 좀 아쉽군요)
    학부에서 전자회로를 공부하는데 페르미 준위 부분을 찾다가 들렀습니다.
    좋은 글 정말 잘 읽었습니다. 앞으로도 종종 가르침 받아갈게요!

    • addr | edit/del Favicon of http://gamma0burst.tistory.com BlogIcon gamma0burst 2015.09.30 07:08 신고

      감사합니다.
      인쇄는 브라우저 기능따라가는거라 제가 어떻게 할 수 있는 부분이 없네요.

  14. addr | edit/del | reply BlogIcon janny 2015.10.20 18:53 신고

    재료과학배우다가 반도체부분이 모호해서 서치하다가 들어왔어요~정말 잘 정리하셔서 감동이에요~감사합니다!!

  15. addr | edit/del | reply BlogIcon 전자과 2016.05.14 17:33 신고

    정말 도움많이되네요!
    물리전자공학 수업듣는데 정말 깔끔하게 정리돼있어서 잘보고가요!

  16. addr | edit/del | reply 페르미 2016.10.07 02:37 신고

    안녕하세요~ 혹시 페르미레벨이 밴드갭사이에 위치하는데 어떻게 전자가 존재할 확률이 생긴건지 여쭤봐도될까요? ㅠㅡ 좋은포스팅 정말 감사합니다~/

    • addr | edit/del Favicon of http://gamma0burst.tistory.com BlogIcon gamma0burst 2016.10.07 21:30 신고

      0K이 아닌 이상 전자는 에너지를 갖고 있고, 에너지의 크기가 밴드갭의 크기를 넘을정도가 되지 않아도 양자역학적으로 밴드갭을 뛰어넘을 수 있습니다.
      전자가 페르미 준위의 에너지를 갖고 있을 확률이 있다는거지, 전자가 페르미 준위의 에너지를 지속적으로 갖고 있다는게 아닙니다. (전자의 에너지는 최종적으로 Ev로 가든 Ec로 가든 둘 중 하나로 나타납니다.)
      에너지 준위의 얘기이기때문에 물리적으로 밴드갭 중간에 전자가 있는 것도 아니고요.

  17. addr | edit/del | reply 반도체 2016.10.23 22:32 신고

    정말 큰 도움 얻어갑니다~! 궁금한 점이 생기면 여기에 질문 드려야겠다고 생각이 들 정도로 명쾌한 설명들이네요. 좋은 포스팅 감사합니다!

  18. addr | edit/del | reply 대박 2016.12.13 00:41 신고

    교수님보다 잘가르치시는것같아요.....감사합니다.

  19. addr | edit/del | reply 2017.04.05 17:04 신고

    엄밀하게 말하면 페르미에너지는 밴드갭 중간이 아니지않나요?

    • addr | edit/del Favicon of http://gamma0burst.tistory.com BlogIcon gamma0burst 2017.04.05 20:43 신고

      본문에서 걸고 있는 조건에서는 맞지요.
      모든 물질과 조건의 케이스에 대해 얘기하고 있는게 아닙니다.

  20. addr | edit/del | reply 굿 2017.04.09 23:58 신고

    대박 굿 글쓴님 개굿 제 과외선생이 되어주세요 굿 대박 진짜 리얼 짱짱

  21. addr | edit/del | reply bb 2017.04.23 20:51 신고

    큰 도움 받고갑니다 감사합니다!!



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