반도체 강좌. (3) 에너지 밴드 차원에서의 반도체 해석.

오랜만입니다.
보는 분이 있을지 모르겠지만, 어쨌든 이전 편에서는 도핑, 캐리어, intrinsic 반도체, extrinsic 반도체에 대해 다뤘습니다.
이번 편에서는 앞서 다뤘던 요소들이 에너지 밴드 차원에서는 어떻게 나타나는지 다뤄보겠습니다.
앞서 다룬 내용이 바탕이 되기때문에 잘 모르겠으면 이전 편을 참고.
(반도체 강좌. (2) 반도체와 캐리어.)


(1) 에너지 준위에 따른 전자의 분포와 페르미 준위. (Fermi level)

반도체에서의 전류를 예측, 계산하기위해서는 캐리어의 농도를 알아야합니다.
캐리어의 농도는 Conduction band(이하, 컨덕션 밴드)에 존재하는 전자의 농도와 관련이 있기때문에 주어진 조건에서 컨덕션 밴드에 전자가 얼마나 있는지를 계산해야합니다.

전자니 홀이니 하는 것들의 스케일이 너무나 미시적이기때문에 여기서는 양자통계역학을 사용합니다.
그 중에서 사용되는 것이 페르미-디락 통계. (Fermi-Dirac statistics)
(열역학에서는 보즈-아인슈타인 통계를 사용하는데, 이는 입자의 특성이 다르기때문. 물론 여기서는 별로 상관없는 얘기입니다.)

(복잡한 수식은 html 에서 제대로 표시하기 힘들어서 참 귀찮습니다.ㅋ)

f(E) 는 전자가 E 라는 크기의 에너지를 갖고 있을 확률입니다.
k 는 볼츠만 상수.
T 는 절대온도.
E_F 는 페르미 준위입니다.

볼츠만 상수는 8.62 x 10^-5 eV/K
J/K 단위로도 쓰지만, E 의 단위가 eV 이기때문에 볼츠만 상수도 eV/K 단위의 값을 써야합니다.

계산해보면 알겠지만, f(E_F) = 0.5 입니다.
즉, 페르미 준위는 전자가 존재할 확률이 50% 인 에너지 준위를 말하는겁니다.
(여담입니다만, 교수님들 중에는 퍼ㄹ~미 라고 읽으라는 분도 있습니다. 미국식 발음이라나?)

페르미 준위에 해당하는 에너지를 전자가 가질 확률이 50% 라는 것이지, 실제로 전체 전자 중 절반이 페르미 준위에 해당하는 에너지를 갖는건 아닙니다.


(2) Intrinsic 반도체에서의 전자 분포.

위의 확률 분포를 그래프로 표시해보면 아래와 같습니다.

Intrinsic 반도체에서 페르미 준위는 에너지 갭의 중간입니다.
전자와 홀의 농도가 같으니 어찌보면 당연합니다.

절대 0도에서는 열에 의한 전자의 운동에너지가 없기때문에 모두 베일런스 밴드에 존재합니다.
(보통 대부분의 반도체 수업에서는 밸런스라고 함.)
하지만 전자가 존재할 확률이 컨덕션 밴드에서 0 이고, 페르미 준위에서 0.5 라는 것도 사실입니다.
그래도 맨 왼쪽의 불연속적인 그래프가 나오는겁니다.

여기서 온도가 상승하기 시작하면 상황은 달라집니다.
전자가 열에 의한 운동에너지를 갖기 시작하는데, 이 에너지의 크기가 밴드갭의 크기에 미치지 않아도 양자역학적으로 밴드갭을 뛰어넘을 수 있다고 언급한 적이 있습니다.
(1차원에 대한 슈뢰딩거 방정식만 풀어봐도 최소한 확률이 0 이 아니라는건 알 수 있습니다.)
이러한 확률을 그래프로 나타내보면 중앙의 그래프와 같이 연속적인 확률 분포가 나타납니다.
미세하게나마 전자가 컨덕션 밴드 이상의 에너지를 가질 확률이 존재합니다.
즉, 자유전자와 홀, EHP 가 발생할 확률이 존재하는겁니다.
이 확률이 현실로 드러나는 것이 Intrinsic 캐리어 농도입니다. (300K 에서 n_i = 1.5 x 10¹⁰cm^-3 였지요.)

그리고 온도가 더 높아지면, 전자가 컨덕션 밴드 이상의 에너지를 가질 확률은 더 커집니다.
(맨 오른쪽 그래프)
온도가 높아질수록 n_i 가 커지는 이유가 바로 이겁니다.

(3) n-type 반도체에서의 페르미 준위와 전자 분포.

아시다시피 n-type 반도체에는 donor가 도핑되어있습니다.
그리고 donor 원자 하나는 자유전자 하나를 만들어내고요.

이것을 에너지 밴드 차원에서 해석해보면 위와 같습니다.
실리콘 격자 구조에 donor 가 도핑되면서, 밴드갭 내에 donor 준위(donor level)가 발생하는데,
그 특성상 컨덕션 밴드와 에너지 차이가 매우 작습니다.
donor 원자로부터 최외각 전자가 이탈하는데 필요한 에너지가 적은 것이지요.

컨덕션 밴드로 전자가 이동하는데 필요한 에너지가 더 적다는 것은 곧 컨덕션 밴드에 전자가 존재할 확률이 높아지는 것을 의미합니다.
즉, 페르미 준위가 Intrinsic 반도체에 비해 더 높아지는 것이지요.

뒤에서 수식을 다루겠지만, donor 준위가 곧 페르미 준위인 것은 아닙니다.
donor 준위는 donor 원자의 특성에 의해 결정되는 고정된 값이지만, 페르미 준위는 도핑되는 불순물의 농도에 따라 변화하는 값입니다.
n-type 의 경우, donor 의 도핑 농도가 높아질수록 페르미 준위가 컨덕션 밴드에 가까워지며,
경우에 따라서는 컨던션 밴드보다 높아지기도 합니다.
(이런 경우는 과도핑에 의해 컨덕션 밴드에 전자가 포화상태에 이른 것입니다.)


(4) p-type 반도체에서의 페르미 준위와 전자 분포.

p-type 반도체에는 acceptor가 도핑되어있고, acceptor 원자 하나는 홀을 하나 발생시킵니다.

이것을 에너지 밴드 차원에서 표현해보면 위와 같습니다.
실리콘 격자 구조에 acceptor 가 도핑되면서, 밴드갭 내에 acceptor 준위(acceptor level)가 발생하는데,
그 특성상 베일런스 밴드와 에너지 차이가 매우 작습니다.
적은 에너지만으로 베일런스 밴드에 존재하는 전자가 acceptor 원자와 결합할 수 있고, 베일런스 밴드에는 전자가 빠져나간 빈 자리, 홀이 발생하는겁니다.

acceptor 준위로 전자가 이동하는데 필요한 에너지가 더 적다는 것은,
곧 베일런스 밴드를 벗어난 전자가 acceptor 준위에 머물 확률이 높아진다는걸 의미하고,
더불어 컨덕션 밴드까지 전자가 이동할 확률이 더 낮아졌다는 것을 의미합니다.
즉, 페르미 준위가 Intrinsic 반도체에 비해 더 낮아지는 것이지요.

캐리어를 논할 때 어쩔수없이 전자가 중심이 되기때문에 전자의 확률 분포를 다뤘지만, 사실 홀의 확률 분포도 존재합니다.
수식적으로는 1 - f(E) 가 됩니다.
그래프는, 전자의 확률분포 그래프를 페르미 준위를 중심으로 상하 반전시키면 됩니다.

위 그래프는 홀의 확률 분포를 나타낸 것으로, p-type 에서는 홀이 majority 캐리어이기때문에 홀의 분포를 중점적으로 보는게 타당하다고 볼 수 있습니다.

p-type 에서도 마찬가지로 acceptor 준위가 곧 페르미 준위인 것은 아닙니다.
acceptor 준위는 acceptor 원자의 특성에 의해 결정되는 고정된 값이고, 페르미 준위는 도핑되는 불순물의 농도에 따라 변화하는 값입니다.
p-type 의 경우, acceptor 의 도핑 농도가 높아질수록 페르미 준위가 베일런스 밴드에 가까워집니다.


(5) 에너지 준위와 캐리어 농도.

이제까지 각 조건에 따른 전자의 분포 확률을 알았으니, 이걸 토대로 캐리어의 농도를 구할 차례입니다.

기본 개념은 이겁니다.

특정 에너지 준위에 전자가 존재할 확률 f(E)
특정 에너지 준위에 전자가 있을 수 있는 상태의 밀도, 상태밀도함수(density of states). N(E)
이 둘을 곱하면 특정 에너지 준위에 존재하는 전자의 수가 나옵니다.

이것을 E_c 에서 무한대의 구간에서 에너지 준위에 대해 적분하면 반도체 내의 총 전자농도가 나옵니다.

E_c 는 컨덕션 밴드가 시작되는 에너지 준위이고, E_c 부터 무한대의 에너지 준위를 구간을 잡은 것은 컨덕션 밴드 이상의 에너지를 갖는 전자가 캐리어이기때문.

사실 캐리어 농도를 구하는데 있어서 이 방식은 매우 귀찮습니다.
반도체를 제조하는 입장에서 통제할 수 있는 요소, 손쉽게 계산할 수 있는 요소, 다양한 계산에 응용할 수 있는 요소만으로 구성된 식이 더 편리하겠지요.

그래서 위의 개념을 토대로 유도 과정을 거쳐 다음의 식이 나옵니다.
(거의 사용하지 않는지라 여기서는 생략.)

(n-type 에서의 전자 농도식)

(p-type 에서의 홀 농도식)

E_i 는 intrinsic level 이라고 하며, intrinsic 상태에서의 페르미 준위를 의미합니다.
밴드갭의 가운데이지요.
수식적으로는 E_c - E_i = E_g /2

각 식을 보면 앞서 말한, 우리가 필요한 요소만으로 구성되어있습니다.
intrinsic 준위, 온도, intrinsic 캐리어 농도는 온도만 알면 쉽게 알 수 있는 수치이며,
전자, 홀 농도는 제조하는 측에서 도핑 농도만 알면 쉽게 알 수 있는 수치입니다.
페르미 준위는 반도체의 특성을 분석하는데 있어서 다양하게 쓰이는 값입니다.

물론 위의 식은 열적평형(Thermal Equilibrium) 상태에서 성립하는 식이기때문에 무조건적으로 모든 상황에 적용할 수는 없습니다.


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이제 다음으로 excess-carrier 에 대해 다뤄야하는데, 이게 복잡해서 언제쯤 쓸 수 있으련지...
하긴 그 뒤에 최종보스인 PN-junction 에 비하면 별 것 아니긴합니다만...;;