반도체 강좌. (2) 반도체와 캐리어.

(1) 불순물 첨가. (Doping)

실리콘에는 기본적으로 자유전자가 없다는 것을 앞서 확인한 바 있습니다.
자유전자가 없다는건 전류가 흐를 수 없다는 얘기이고요.
하지만 우리가 실제로 반도체를 활용하기위해서는 전류가 흐를 수 있어야겠지요.

이것을 가능하게 하는 인위적인 조작이 도핑입니다.(Doping, 불순물 첨가)


(2) Donor & Acceptor, 캐리어 (Carrier)

도핑에 사용되는 물질은 크게 두 가지입니다.
Donor 와 Acceptor

Donor는 15족 원소입니다.
물론 모든 15족 원소를 쓸 수 있는건 아니고 대표적인 것들이 P(인, Phosphorus), As(비소, Arsenic) 입니다.
Accptor는 13족 원소입니다.
역시나 모든 13족 원소를 쓸 수 있는건 아니고, 대표적인 것이  B(붕소, Boron) 입니다.
(대표적인 것들 외에 다른 원소들도 있기는 합니다.)

불순물이 실리콘에 주입되면 어떤 일이 벌어질까요?

(좌 : Donor 첨가, 우 : Acceptor 첨가)

Donor는 15족이고 이는 최외각 전자가 5개임을 의미합니다.
실리콘 결합구조 내에 Donor가 들어가게되면, 최외각 전자 중 4개는 주변 실리콘 원자의 최외각 전자들과 공유결합을 이루게 됩니다.
하지만 Donor의 최외각 전자는 5개지요. 하나가 공유결합을 하지 못 합니다.
이 전자는 작은 에너지만 있어도 쉽게 Donor 원자와의 결합이 끊어지고, 자유전자가 될 수 있습니다.
(최외각에 8개의 전자를 배치하는, 안정화된 구조를 만드는 가장 빠른 방법이니까요.)
즉, 주입된 Donor 원자 하나당 하나의 자유전자가 발생합니다.

Acceptor는 13족이고 이는 최외각 전자가 3개임을 의미합니다.
실리콘 결합구조 내에 Acceptor가 들어가게되면, 최외각 전자 3개는 모두 주변 실리콘 원자의 최외각 전자들과 공유결합을 이루게 됩니다.
하지만 Acceptor의 최외각 전자는 3개지요. 주변에 있는 4개의 실리콘 원자 중에서 하나와 공유결합을 하지 못 합니다.
이 경우 다른 곳에서 전자를 공급받아야 상태가 안정화되는, 공유결합의 공백이 생기는데,
이것을 hole(홀)이라고 부릅니다.
즉, 주입된 Acceptor 원자 하나당 하나의 홀이 발생합니다.
(정공이라고 부르는 경우도 있습니다만, 여기서는 앞으로 계속 홀이라고 하겠습니다.)

이들 (자유)전자와 홀이 전류의 원천, 전하가 됩니다.
전류를 운반하는 역할을 한다고 전하 운반자(Charge Carrier), 줄여서 캐리어(Carrier)라고 부릅니다.

Donor와 Acceptor라는 이름도 이러한 특성에서 유래한겁니다.
주입되면 전자를 내보낸(준)다고, Donor
주입되면 전자를 받는다고, Acceptor


(3) 자유전자와 홀 (Free electron & Hole)

전자와 홀은 같은 캐리어로 분류하지만, 사실 그 생성원리와 동작원리는 크게 다릅니다.

전자는 우리가 흔히 생각하는 전류와 전자의 개념과 크게 다르지 않습니다.
주변 원자와 결합을 이루지 않는 원자들이 전기장 등의 외부의 힘을 받아 움직이면 그게 전류인거지요.

하지만 홀은 그 과정이 더 복잡합니다.
홀이라는 개념 자체가 가상의 개념입니다. 실제 홀이라는 입자는 존재하지 않는 것이지요.
앞서 말했듯이 결합의 공백을 홀이라고 부르고, 이 공백을 다른 전자가 와서 채워줘야 전체 구조가 안정화됩니다.
구조 내에 자유전자가 존재한다면 그것들이 와서 채워주겠지만, 없다면 어떻게 해야할까요.
바로 옆에서 공유결합하고 있는 전자가 옮겨오게됩니다.

홀이 존재했는데, 오른쪽에 있는 전자가 옮겨와서 홀을 채웠다고 가정하겠습니다.
그렇다면 전체적으로 봤을 때, 어떻게 되었을까요.
전자의 결합은 왼쪽으로 이동한 것이고, 이전보다 오른쪽인 위치에 다시 홀이 발생했습니다.
즉, 홀이 오른쪽으로 이동한 것입니다.

홀이 이동하는 기본원리가 이것입니다.
원자 간에 공유결합하고 있는 전자가 이동하여 공유결합을 하게되고, 그 자리에 다시 홀이 발생합니다.
홀이 이동하는 것'처럼' 보이는겁니다.

요약하면, 홀은 공유결합하고 있는 전자의 이동에 대한 '다른 표현'인 겁니다.

이런 원리 차이로 인해, 전자와 홀은 그 특성이 다릅니다.
대표적인 것이 모빌리티입니다. 이동도 정도로 이해하면 됩니다.
원자의 영향에서 벗어난 자유전자에 비해,
원자와의 결합을 유지하면서 이동한다는 제약이 붙어있는 홀의 이동도가 낮은건 당연하겠지요.

그렇다면 왜 굳이 홀이라는 가상의 개념을 쓰는걸까요.
전체 반도체를 분석, 파악하는데 이 방식이 더 편리하기때문입니다.
Acceptor 하나당 하나의 홀이 발생한다는 점에서 캐리어의 농도를 파악하기쉽고,
전류를 계산하는데 있어서도 더 편합니다.


(4) Intrinsic carrier concentration

사실 불순물이 첨가되지 않아도 순수한 실리콘 내에는 일정한 농도의 캐리어가 존재합니다.
10²² cm^-3 (1cm³ 당 10²²개)인 실리콘 고체구조 내에서 주위의 열이 전달하는 에너지에 의해 결합을 깨고
자유전자가 되는 전자들이 존재합니다.
물론 열이 공급하는 에너지는 매우 작기때문에 300K에서 1.12eV 라는 실리콘의 밴드갭을 뛰어넘을만한
에너지를 공급하기에는 무리가 있습니다.
하지만 양자역학적으로 전자가 갖고 있는 에너지보다 더 큰 에너지 장벽을 넘어서는 것은,
확률이 매우 낮을뿐 불가능이 아닙니다.
쉽게 말하면 1.12eV만한 에너지를 갖지 않아도 밴드갭을 뛰어넘어 밸런스 밴드에서 컨덕션 밴드로 올라갈 수 있다는겁니다.

이 때, 단순히 자유전자만이 형성되는 것이 아니라 홀도 같이 발생합니다.
전자가 결합을 끊고 자유전자가 되면, 그 자리는 결합의 공백이 남게되는데,
우리는 이런 결합을 공백을 홀이라고 부르기로 했으니까요.
이런 것들을 EHP(Electron-Hole Pair) 라고 합니다.
자유전자와 홀이 함께 발생하고, 둘이 결합하면서 동시 소멸되기때문에 쌍(Pair)으로 보는 것이지요.

실리콘 내에서 이런 EHP가 계속적으로 발생하고, 계속적으로 소멸하면서
일정한 전자와 홀 농도를 유지합니다.
이 전자와 홀의 농도를 Intrinsic carrier concentration 라고 부릅니다. 보통 n_i 라고 표기합니다.

일반적으로 사용하는 상온인 300K(=27도씨)에서 n_i = 1.5 x 10¹⁰cm^-3 정도입니다.
10²² cm^-3 인 실리콘 원자수에 비하면 극히 작은 값입니다.
불순물 첨가가 없는 실리콘이 부도체인 이유가 이것입니다.
전류를 흐르게 하기에는 캐리어가 너무나도 부족한겁니다.

Intrinsic carrier는 EHP로 발생하기때문에 자유전자와 홀의 수는 같습니다.
즉, 순수한 실리콘에는 n_i 만큼의 전자가 존재하고, 동시에 n_i 만큼의 홀이 존재하는겁니다.

Intrinsic carrier 의 발생원이 열이기때문에 온도가 올라가면, Intrinsic carrier는 증가합니다.

만약 온도가 일정하지 않고 변화한다면, Intrinsic carrier concentration 도 일정하지 않고 변화합니다.
EHP가 발생하는 비율과 사라지는 비율이 달라지기때문에 EHP가 증가하거나 감소하는 식으로 변화하기때문이지요.


(5) 도핑 농도와 캐리어 농도 (Doping concentration & Carrier concentration)

반도체의 전류를 계산하기위해서는 전류의 근원이 되는 캐리어의 분포를 파악해야겠지요.
앞서 설명했듯이 캐리어를 발생원이 되는 것은 세 가지입니다.
Donor, Acceptor, 열.

열에 의해 발생하는 Intrinsic 캐리어 농도, n_i
실리콘에 도핑된 Donor의 농도, N_d
실리콘에 도핑된 Acceptor의 농도, N_a
총 전자 농도, n₀
총 홀 농도, p₀

1. Donor만 도핑.
실리콘 내에는 n_i만큼의 전자, 홀이 있고, N_d 만큼의 전자가 있습니다.
합치면,
n₀ = N_d+ n_i ≒ N_d
입니다.
n₀ = N_d  인 이유는 N_d ≫ n_i 이기때문입니다.
전류를 흐르게 하기위해 도핑을 하는데, 전류가 흐르기 힘들정도 낮은 농도인 n_i 와 비슷한 수준으로
도핑을 하는건 의미가 없으니까요.

p₀ 값은 n₀p₀ = n_i² 라는 공식에 의해 구합니다.
(유도과정은 복잡하니 생략.)
참고로, 이 식은 열적 평형상태(Thermal equilbrium)의 모든 반도체에 공통적으로 적용할 수 있는 식입니다.

2. Acceptor만 도핑.
실리콘 내에는 n_i만큼의 전자, 홀이 있고, N_a 만큼의 홀이 있습니다.
합치면,
p₀= N_a+ n_i ≒ N_a  (N_a ≫ n_i)
입니다.
n₀ 값은 n₀p₀ = n_i² 라는 공식에 의해 구합니다.

3. 도핑이 없는 경우.
n₀ = p₀ = n_i

4. Donor, Acceptor 모두 도핑된 경우.
이건 어느 쪽이 더 많이 도핑되었느냐에 따라 다릅니다.
Donor에 의해 발생하는 자유전자와 Acceptor에 의해 발생하는 홀이 결합하여 소멸해버리는데,
결국 많은 쪽이 남게되고, 남은 캐리어가 유효 캐리어가 되기때문입니다.

Donor가 더 많으면 n₀ = N_d - N_a + n_i ≒ N_d - N_a 가 되어서 1번의 경우처럼 계산하고,
Acceptor가 더 많으면 p₀= N_a- N_d + n_i ≒ N_a- N_d가 되어서 2번의 경우처럼 계산합니다.

만약 둘의 농도가 같다면 3번의 경우가 되겠지요.


(6) Intrinsic Semiconductor & Extrinsic Semiconductor

위의 경우에서 알 수 있듯이 도핑농도가 무조건적으로 캐리어농도로 이어지는 것은 아닙니다.
캐리어 농도를 기준으로 반도체를 Intrinsic Semiconductor 와 Extrinsic Semiconductor 로 구분합니다.
한글로는 진성반도체, 불순물반도체라고 부르지요.

도핑이 없거나, Donor와 Acceptor의 도핑농도가 같아서,
캐리어 농도가 Intrinsic 캐리어 농도와 동일한 반도체를 Intrinsic Semiconductor 라고 합니다.
그 외에 Donor와 Acceptor의 도핑농도가 달라서,
캐리어 농도가 Intrinsic 캐리어 농도보다 큰 반도체를 Extrinsic Semiconductor 라고 합니다.


(7) Majority carrier & Minority carrier

반도체 내에 많이 존재하는 캐리어를 Majority carrier (다수 캐리어)라고 하고,
상대적으로 적게 존재하는 캐리어를 Minority carrier (소수 캐리어)라고 합니다.


(8) N-type 반도체 & P-type 반도체

Majority carrier 가 전자인 반도체를 N-type 반도체라고 하고,
Majority carrier 가 홀인 반도체를 P-type 반도체라고 합니다.


(9) Space Charge

반도체의 극성에 대해 생각해보겠습니다.

도핑이 없는 Intrinsic의 반도체는 순수한 실리콘뿐입니다.
실리콘 원자의 극성은 중성이지요.
EHP가 발생하지만, (+)인 홀과 (-)인 전자가 쌍으로 발생하기때문에 전체적으로보면 중성입니다.

Donor 원자는 역시나 중성입니다.
이것이 실리콘에 도핑되고 전자를 내보내면, 그 때의 Donor 원자는 (+)가 됩니다.
중성인 원자가 (-)인 전자를 내보냈으니 (+)가 되는 것이지요.
이것을 N_d⁺ 라고 합니다. N_d = N_d⁺  + e(전자) 인 것이지요.

Acceptor 원자 역시 중성입니다.
이것이 실리콘에 도핑되고 전자를 받으면, 그 때의 Acceptor원자는 (-)가 됩니다.
중성인 원자가 (-)인 전자를 받았으니 (-)가 되는 것이지요.
이것을 N_a^- 라고 합니다. N_a + e(전자) = N_a^-  인 것이지요.

그렇다면 반도체 전체의 극성은 어떨까요.
외부에서의 캐리어의 유입이 없다면 도핑에 관계없이 중성입니다.
중성인 실리콘에 중성인 Donor나 Accptor를 도핑했으니 전체는 당연히 중성인겁니다.

하지만 실리콘 내에서 Donor 원자가 (+)로 존재하고, Acceptor 원자가 (-)로 존재하는데서 알 수 있듯이,
반도체 내에는 부분적으로 (+)와 (-) 극성이 존재합니다.
이렇게 국지적으로 존재하는, 극성을 띈 원자들을 Space charge 라고 부릅니다.
Space charge 의 근원은 도핑된 원자이기때문에 캐리어와는 달리 이동할 수 없습니다.
도핑된 원자가 주변 실리콘 원자와의 공유결합을 끊고 이동한다는건 불가능하기 때문입니다.


(10) Charge Neutrality

그렇다면 이렇게 생각할 수 있습니다.

반도체 전체는 중성인데, 그 내부에 존재하는 중성이 아닌 것들은 두 가지이다.
Space charge와 캐리어.
그렇다면 Space charge의 전하량과 캐리어의 전하량을 모두 합치면 중성이 될 것이라고요.

이 개념이 바로 Charge Neutrality 입니다.

Space charge 하나의 전하량, 캐리어인 전자, 홀 하나의 전하량은 모두 전자 하나의 전하량과 같습니다.
전자 하나의 이동으로 인해 발생되는 것들이니까요.
다만, 그 부호가 다를뿐입니다.
Space charge의 전하량과 캐리어의 전하량을 모두 합치면 중성이 된다는 얘기는,
곧 반도체 내에서 (+) 극성인 전하의 수와 (-) 극성인 전하의 수가 같다는 얘기가 됩니다.

수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

N_d⁺ + p₀ = N_a^- + n₀

좌항은 (+) 극성인 전하의 수이고, 우항은 (-) 극성인 전하의 수입니다.
n₀ 와 p₀ 를 계산하는데 주로 n₀p₀ = n_i² 를 사용하지만, Charge Neutrality 를 사용할 수도 있습니다.
물론 어느 방법을 쓰든 결과는 같습니다.


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많이 길어졌네요.
에너지 밴드 차원에서 해석은 다음 편으로 미루겠습니다.